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원과 선의 방정식. 평면 점의 데카르트 좌표

수업 주제: 원의 방정식

수업 목표:

교육적인: 이 문제의 해결을 좌표법을 사용할 수 있는 가능성 중 하나로 고려하여 원의 방정식을 유도합니다.

가능하다:

– 제안된 방정식을 이용하여 원의 방정식을 인식하고, 미리 만들어진 그림을 이용하여 원의 방정식을 구성하는 방법을 가르치고, 주어진 방정식을 이용하여 원을 구성하는 방법을 가르친다.

교육적인 : 비판적 사고의 형성.

발달 : 알고리즘 지침을 작성하는 능력과 제안된 알고리즘에 따라 작동하는 능력을 개발합니다.

가능하다:

– 문제를 확인하고 해결 방법을 간략히 설명하세요.

– 당신의 생각을 구두와 서면으로 간략하게 표현하십시오.

수업 유형: 새로운 지식을 익히는 것.

장비 : PC, 멀티미디어 프로젝터, 스크린.

강의 계획:

1. 개회사 – 3분

2. 지식 업데이트 – 2분

3. 문제 및 해결 방법 설명 – 10분

4. 신소재 정면 체결 – 7분

5. 그룹 내 개별 작업 – 15분

6. 작품 발표: 토론 – 5분

7. 수업 요약. 숙제 – 3분

수업 중에는

이 단계의 목적: 학생들의 심리적 기분; 모든 학생을 교육 과정에 참여시켜 성공의 상황을 조성합니다.

1. 정리 시간.

3 분

얘들아! 당신은 5학년과 8학년 때 서클에 대해 알게 되었습니다. 그녀에 대해 무엇을 알고 있나요?

당신은 많은 것을 알고 있으며 이 데이터는 기하학적 문제를 해결하는 데 사용될 수 있습니다. 그러나 좌표법을 사용하는 문제를 해결하려면 이것만으로는 충분하지 않습니다.왜?

확실히 맞아.

따라서 오늘 수업의 주요 목표는 주어진 선의 기하학적 특성으로부터 원의 방정식을 도출하고 이를 사용하여 기하학적 문제를 해결하는 것입니다.

놔둬수업 좌우명 중앙아시아 백과사전학자 알 비루니(Al-Biruni)는 이렇게 말했습니다. “지식은 소유물 중에서 가장 뛰어난 것입니다. 모두가 그것을 위해 노력하지만, 그것은 저절로 이루어지지 않습니다.”

공과 주제를 노트에 적으세요.

원의 정의.

반지름.

지름.

현. 등.

우리는 아직 원 방정식의 일반적인 형태를 모릅니다.

학생들은 서클에 대해 알고 있는 모든 것을 나열합니다.

슬라이드 2

슬라이드 3

이 단계의 목적은 학생들의 자료 동화 수준에 대한 아이디어를 얻고 기본 지식을 결정하는 것입니다.

2. 지식을 업데이트 중입니다.

2분

원의 방정식을 유도할 때 이미 알려진 원의 정의와 좌표를 사용하여 두 점 사이의 거리를 찾을 수 있는 공식이 필요합니다.이 사실을 기억하자 /피소재의 반복, 이전에 공부한/:

– 선분의 중간점 좌표를 구하는 공식을 적어보세요.

– 벡터의 길이를 계산하는 공식을 적어보세요.

– 점 사이의 거리를 구하는 공식을 적어보세요. (세그먼트의 길이).

항목 수정 중...

기하학적 워밍업.

포인트가 부여됩니다A (-1;7) 그리고(7; 1)에서.

선분 AB의 중간점 좌표와 길이를 계산합니다.

실행의 정확성을 확인하고 계산을 수정합니다...

한 학생은 칠판 앞에 있고 나머지는 공책에 공식을 쓰고 있습니다.

원은 주어진 점으로부터 주어진 거리에 위치한 모든 점으로 구성된 기하학적 도형입니다.

|AB|=√(x – x)²+(y – y)²

M(x;y), A(x;y)

계산: C (3; 4)

| AB| = 10

와 함께 리드 4

슬라이드 5

3. 새로운 지식의 형성.

12분

목표: 개념 형성 - 원의 방정식.

문제를 풀다:

직교 좌표계에서는 중심이 A(x;y)인 원이 구성됩니다. M(x; y) - 원의 임의의 점. 원의 반경을 찾으십시오.

다른 점의 좌표가 이러한 동일성을 충족합니까? 왜?

방정식의 양변을 제곱해 봅시다.결과적으로 다음과 같은 결과를 얻었습니다.

r² =(x – x)²+(y – y)²-원 방정식. 여기서 (x;y)는 원 중심의 좌표이고, (x;y)는 임의의 점 좌표입니다. 원에서 r은 원의 반지름입니다.

문제를 풀다:

원점을 중심으로 하는 원의 방정식은 무엇입니까?

그렇다면 원의 방정식을 그리려면 무엇을 알아야 할까요?

원의 방정식을 구성하는 알고리즘을 제안합니다.

결론: ...노트북에 적어보세요.

반지름은 원의 중심과 원 위에 있는 임의의 점을 연결하는 선분입니다. 따라서 r=|AM|=√(x – x)²+(y – y)²

원 위의 모든 점은 이 원 위에 있습니다.

학생들은 노트에 메모를 합니다.

(0;0) - 원 중심의 좌표입니다.

x²+y²=r², 여기서 r은 원의 반지름입니다.

원의 중심 좌표, 반지름, 원 위의 모든 점...

그들은 알고리즘을 제안합니다 ...

알고리즘을 노트에 적어보세요.

슬라이드 6

슬라이드 7

슬라이드 8

교사는 칠판에 평등을 기록합니다.

슬라이드 9

4. 기본 통합.

23분

표적:형성된 아이디어와 개념의 손실을 방지하기 위해 학생들이 방금 배운 자료를 재현합니다.. 새로운 지식, 아이디어, 이를 기반으로 한 개념의 통합응용 프로그램.

태양 통제

습득한 지식을 적용하여 다음 문제를 해결해 봅시다.

일: 제안된 방정식에서 원의 방정식인 숫자의 이름을 지정하세요. 그리고 방정식이 원의 방정식이라면 중심 좌표의 이름을 지정하고 반경을 나타냅니다.

두 개의 변수가 있는 모든 2차 방정식이 원을 정의하는 것은 아닙니다.

4x²+y²=4-타원 방정식.

x²+y²=0-점.

x²+y²=-4-이 방정식은 어떤 수치도 정의하지 않습니다.

얘들아! 원의 방정식을 작성하려면 무엇을 알아야 합니까?

문제를 풀다 966쪽, 245쪽(교과서).

교사는 학생을 칠판으로 부릅니다.

문제 설명에 제공된 데이터가 원의 방정식을 생성하는 데 충분합니까?

일:

원점을 중심으로 하고 지름이 8인 원의 방정식을 쓰세요.

일 : 원을 그립니다.

중심에 좌표가 있나요?

반경을 결정하고... 구축하세요.

243페이지의 문제 (교과서)는 구두로 분석됩니다.

243페이지의 문제 해결 계획을 사용하여 문제를 해결하세요.

원이 점 B(7;5)를 통과할 때 점 A(3;2)에 중심이 있는 원의 방정식을 작성하십시오.

1) (x-5)²+(y-3)²=36 - 원의 방정식; (5;3),r=6.

2) (x-1)²+y²=49 - 원의 방정식; (1;0),r=7.

3) x²+y²=7 - 원의 방정식; (0;0),r=√7.

4) (x+3)²+(y-8)²=2 - 원의 방정식; (-3;8),r=√2.

5) 4x²+y²=4는 원의 방정식이 아닙니다.

6) x²+y²=0-은 원의 방정식이 아닙니다.

7) x²+y²=-4-는 원의 방정식이 아닙니다.

원의 중심 좌표를 알 수 있습니다.

반경 길이.

중심의 좌표와 반지름의 길이를 원의 일반방정식에 대입합니다.

966번 문제 245페이지(교과서)를 풀어보세요.

데이터가 충분합니다.

그들은 문제를 해결합니다.

원의 지름은 반지름의 두 배이므로 r=8¼2=4입니다. 따라서 x²+y²=16입니다.

원 구성

교과서대로 작업하세요. 243페이지의 문제입니다.

주어진 값: A(3;2)는 원의 중심입니다. В(7;5)ψ(А;r)

찾기: 원의 방정식

풀이: r² =(x –x)²+(y –y)²

r² =(x –3)²+(y –2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r² =25

(x –3)²+(y –2)²=25

답: (x –3)²+(y –2)²=25

슬라이드 10-13

일반적인 문제를 해결하고 큰 소리로 해결책을 발표합니다.

교사는 한 학생에게 전화하여 결과 방정식을 적도록 합니다.

슬라이드 9로 돌아가기

이 문제를 해결하기 위한 계획에 대해 논의합니다.

미끄러지 다. 15. 교사는 이 문제를 해결하기 위해 학생 한 명을 칠판에 부릅니다.

슬라이드 16.

슬라이드 17.

5. 강의 요약.

5 분

수업 활동에 대한 반성.

숙제: §3, 단락 91, 시험 문제 번호 16,17.

문제 번호 959(b, d, d), 967.

추가 평가과제(문제과제) : 방정식으로 주어진 원을 구성

x²+2x+y²-4y=4.

우리는 수업 시간에 무엇에 대해 이야기했습니까?

무엇을 얻고 싶었나요?

수업의 목표는 무엇이었나요?

우리의 "발견"을 통해 어떤 문제를 해결할 수 있습니까?

선생님이 수업에서 설정한 목표를 100%, 50% 달성했다고 생각하시는 분은 몇 명입니까? 목표를 달성하지 못했어요...?

등급.

숙제를 적어보세요.

학생들은 교사가 제기한 질문에 답합니다. 자신의 활동에 대해 자기 분석을 해보세요.

학생들은 그것을 달성하기 위한 결과와 방법을 말로 표현해야 합니다.

분석기하학은 기하학적 문제를 해결하기 위한 통일된 기술을 제공합니다. 이를 위해 주어진 모든 점과 선이 하나의 좌표계에 할당됩니다.

좌표계에서 각 점은 좌표로 특성화될 수 있으며, 각 선은 두 개의 미지수가 있는 방정식으로 특징지어질 수 있으며, 이 선의 그래프는 다음과 같습니다. 따라서 기하학적 문제는 모든 계산 방법이 잘 개발된 대수적 문제로 축소됩니다.

원은 하나의 특정 속성을 갖는 점들의 기하학적 자취입니다(원의 각 점은 중심이라고 하는 한 점에서 등거리에 있습니다). 원의 방정식은 이 속성을 반영하고 이 조건을 충족해야 합니다.

원 방정식의 기하학적 해석은 원의 선입니다.

좌표계에 원을 배치하면 원의 모든 점은 하나의 조건을 충족합니다. 즉, 원의 중심까지의 거리는 원과 동일해야 합니다.

한 점에 중심이 있는 원 ㅏ 반경 아르 자형 좌표평면에 놓으세요.

중심좌표가 일치하는 경우 (a;b) , 그리고 원 위의 임의 지점의 좌표 (x;y) 이면 원의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

원의 반지름의 제곱이 원의 임의 점과 중심의 해당 좌표 사이의 차이의 제곱의 합과 같으면 이 방정식은 평면 좌표계의 원 방정식입니다.

원의 중심이 원점과 일치하면 원의 반지름의 제곱은 원 위의 모든 점 좌표의 제곱의 합과 같습니다. 이 경우 원의 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

결과적으로 점의 중심인 기하학적 도형은 점의 좌표를 연결하는 방정식에 의해 결정됩니다. 반대로, 좌표와 관련된 방정식은 엑스 그리고 ~에 , 좌표가 이 방정식을 만족하는 평면상의 점의 기하학적 자취로 선을 정의합니다.

원의 방정식에 관한 문제를 해결하는 예

일. 주어진 원에 대한 방정식을 작성하세요

중심이 O(2;-3)이고 반지름이 4인 원의 방정식을 작성하세요.

해결책.
원 방정식의 공식을 살펴보겠습니다.
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

값을 공식에 대입해 보겠습니다.
원 반경 R = 4
원의 중심 좌표(조건에 따름)
a = 2
b = -3

우리는 다음을 얻습니다:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
또는
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

일. 점이 원의 방정식에 속합니까?

포인트가 속하는지 확인 A(2;3)원의 방정식 (x - 2) 2 +(y+3) 2 = 16 .

해결책.
점이 원에 속하면 해당 좌표는 원의 방정식을 충족합니다.
주어진 좌표를 가진 점이 원에 속하는지 확인하려면 해당 점의 좌표를 주어진 원의 방정식에 대입합니다.

방정식에서 ( 엑스 - 2) 2 + (와이 + 3) 2 = 16
조건에 따라 점 A(2;3)의 좌표를 대체해 보겠습니다.
엑스 = 2
y=3

결과 평등의 진실을 확인합시다
(엑스 - 2) 2 + (와이 + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 평등은 거짓이다

그래서 주어진 포인트 속하지 않는주어진 원의 방정식.

수업의 목적:원의 방정식을 소개하고, 학생들에게 미리 만들어진 그림을 사용하여 원의 방정식을 구성하고, 주어진 방정식을 사용하여 원을 구성하도록 가르칩니다.

장비: 대화형 보드.

강의 계획:

조직적인 순간 – 3분.
되풀이. 정신 활동 조직 – 7분
새로운 자료에 대한 설명. 원의 방정식 도출 – 10분
연구 자료 통합 – 20분
강의 요약 – 5분

수업 중에는

2. 반복:

− (부록 1 슬라이드 2) 세그먼트 중간의 좌표를 찾는 공식을 적습니다.

− (슬라이드 3) Z점 사이의 거리(선분의 길이)에 대한 공식을 작성하세요.

3. 신소재에 대한 설명.

(슬라이드 4 – 6)원의 방정식을 정의합니다. 점을 중심으로 하는 원의 방정식을 도출합니다( ㅏ;비) 원점을 중심으로 합니다.

(엑스 – ㅏ ) 2 + (~에 – 비 ) 2 = 아르 자형 2 – 중심이 있는 원의 방정식 와 함께 (ㅏ;비) , 반지름 아르 자형 , 엑스 그리고 ~에 – 원 위의 임의 점의 좌표 .

엑스 2 + y 2 = 아르 자형 2 – 원점에 중심이 있는 원의 방정식.

(슬라이드 7)

원의 방정식을 만들려면 다음이 필요합니다.

중심의 좌표를 알고;
반경의 길이를 알고;
중심의 좌표와 반지름의 길이를 원의 방정식에 대입합니다.

4. 문제 해결.

과제 1~6번에서는 미리 만들어진 그림을 사용하여 원의 방정식을 작성합니다.

(슬라이드 14)

№ 7. 표를 채우세요.

(슬라이드 15)

№ 8. 다음 방정식으로 주어진 공책에 원을 구성하십시오.

ㅏ) ( 엑스 – 5) 2 + (~에 + 3) 2 = 36;
비) (엑스 + 1) 2 + (~에– 7) 2 = 7 2 .

(슬라이드 16)

№ 9. 중심의 좌표와 반지름의 길이를 찾으십시오. AB– 원의 직경.

주어진:		해결책:
주어진:		아르 자형	중심좌표
1	ㅏ(0 ; -6) 안에(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	ㅏ(0; -6) 안에(0 ; 2) 와 함께(0 ; – 2) – 센터
2	ㅏ(-2 ; 0) 안에(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	ㅏ (-2;0) 안에 (4 ;0) 와 함께(1 ; 0) – 센터

(슬라이드 17)

№ 10. 원점을 중심으로 하고 점을 통과하는 원의 방정식을 작성하세요. 에게(-12;5).

해결책.

R 2 = 알았어 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

원의 방정식: x 2 + y 2 = 169 .

(슬라이드 18)

№ 11. 원점을 통과하고 중심을 이루는 원에 대한 방정식을 작성하십시오. 와 함께(3; - 1).

해결책.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

원의 방정식: ( 엑스 - 3) 2 + (와이 + 1) 2 = 10.

(슬라이드 19)

№ 12. 중심이 있는 원의 방정식을 작성하세요. ㅏ(3;2), 통과 안에(7;5).

해결책.

1. 원의 중심 - ㅏ(3;2);
2.아르 자형 = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. 원의 방정식 ( 엑스 – 3) 2 + (~에 − 2) 2 = 25.

(슬라이드 20)

№ 13. 포인트가 거짓말인지 확인하세요 ㅏ(1; -1), 안에(0;8), 와 함께(-3; -1) 방정식( 엑스 + 3) 2 + (~에 − 4) 2 = 25.

해결책.

나. 점의 좌표를 대입해보자 ㅏ(1; -1)을 원의 방정식으로 대입하면 다음과 같습니다.

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – 평등이 거짓입니다. 즉, ㅏ(1; -1) 거짓말을 하지 않는다방정식으로 주어진 원에서 ( 엑스 + 3) 2 + (~에 − 4) 2 = 25.

II. 점의 좌표를 대입해보자 안에(0;8)을 원의 방정식으로 대입하면 다음과 같습니다.

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
안에(0;8)거짓말 엑스 + 3) 2 + (~에 − 4) 2 = 25.

III.점의 좌표를 대입해보자 와 함께(-3; -1)을 원의 방정식으로 대입하면 다음과 같습니다.

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – 평등이 참입니다. 즉, 와 함께(-3; -1) 거짓말방정식으로 주어진 원에서 ( 엑스 + 3) 2 + (~에 − 4) 2 = 25.

강의 요약.

반복: 원의 방정식, 원점에 중심을 둔 원의 방정식.
(슬라이드 21)숙제.

원에 반지름이 있게 하세요 , 그 중심은 점에 있습니다.
. 점
벡터의 크기가 원 위에 있는 경우에만
같음 , 그건. 마지막 동등성은 다음과 같은 경우에만 충족됩니다.

방정식 (1)은 원의 원하는 방정식입니다.

주어진 점을 지나는 직선의 방정식은 주어진 벡터에 수직이다

벡터에 수직
.

점

그리고
수직. 벡터
그리고
스칼라 곱이 0인 경우에만 수직입니다. 즉,
. 좌표로 지정된 벡터의 스칼라 곱을 계산하는 공식을 사용하여 원하는 선의 방정식을 다음 형식으로 작성합니다.

예를 살펴보겠습니다.지나는 선의 방정식을 구하라

점의 좌표가 각각 A(1;6), B(5;4)와 같은 경우 세그먼트 AB의 중간은 이 세그먼트에 수직입니다.

우리는 다음과 같이 추론할 것입니다. 직선의 방정식을 찾으려면 이 직선이 통과하는 점과 이 직선에 수직인 벡터를 알아야 합니다. 이 선에 수직인 벡터는 문제의 조건에 따라 선분 AB에 수직이기 때문에 벡터가 됩니다. 마침표
직선이 AB의 중심을 통과한다는 조건을 통해 판단해보자. 우리는 가지고 있습니다. 따라서
방정식은 다음과 같은 형태를 취하게 됩니다.

이 직선이 점 M(7;3)을 통과하는지 알아봅시다.

이는 이 선이 표시된 지점을 통과하지 않음을 의미합니다.

주어진 점을 지나고 주어진 벡터에 평행한 선의 방정식

선이 점을 통과하도록 하세요.
벡터에 평행
.

점
벡터가 직선 위에 있는 경우에만
그리고
동일선상. 벡터
그리고
좌표가 비례하는 경우에만 동일선상에 있습니다. 즉

(3)

결과 방정식은 원하는 선의 방정식입니다.

방정식 (3)은 다음과 같은 형식으로 표현됩니다.

, 어디 모든 값을 허용합니다.
.

그러므로 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

, 어디
(4)

방정식 (4) 시스템을 직선의 매개변수 방정식이라고 합니다.

예를 살펴보겠습니다.두 점을 지나는 선의 방정식을 찾아보세요. 점과 이에 평행하거나 수직인 벡터를 알면 선의 방정식을 만들 수 있습니다. 두 가지 포인트를 사용할 수 있습니다. 그러나 두 점이 한 선 위에 있으면 두 점을 연결하는 벡터는 이 선과 평행합니다. 따라서 우리는 방정식 (3)을 사용하여 벡터로 사용합니다.
벡터
. 우리는 얻는다

(5)

방정식 (5)는 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식이라고 불립니다.

직선의 일반 방정식

정의.평면 위의 1차선의 일반 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.
, 어디
.

정리.평면 위의 모든 직선은 1차 직선의 방정식으로 주어질 수 있고, 모든 1차 직선의 방정식은 평면 위의 일부 직선의 방정식입니다.

이 정리의 첫 번째 부분은 증명하기 쉽습니다. 어떤 직선에서도 특정 지점을 지정할 수 있습니다.
이에 수직인 벡터
. 그런 다음 (2)에 따르면 이러한 직선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 나타내자
. 그러면 방정식은 다음과 같은 형식을 취하게 됩니다.
.

이제 정리의 두 번째 부분으로 넘어 갑시다. 방정식이 있다고 하자
, 어디
. 확실성을 가정해보자
.

방정식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

;

비행기의 한 점을 생각해 보세요.
, 어디
. 그런 다음 결과 방정식은 형식을 가지며 점을 통과하는 직선의 방정식입니다.
벡터에 수직
. 정리가 입증되었습니다.

정리를 증명하는 과정에서 우리는 동시에 증명했습니다.

성명.다음 형식의 직선 방정식이 있는 경우
, 그 다음 벡터
이 선에 수직입니다.

형태의 방정식
평면 위의 직선의 일반방정식이라고 합니다.

직선이 있게 해주세요
및 기간
. 특정 지점에서 직선까지의 거리를 결정하는 것이 필요합니다.

임의의 점을 고려하십시오.
직선으로. 우리는
. 거리 지점에서
직선에 대한 벡터 투영 계수와 같습니다.
벡터하다
, 이 선에 수직입니다. 우리는

변형 우리는 다음 공식을 얻습니다.

일반 방정식으로 정의된 두 개의 선이 주어집니다.

,
. 그런 다음 벡터

각각 첫 번째와 두 번째 선에 수직입니다. 모서리
직선 사이의 각도는 벡터 사이의 각도와 같습니다
,
.

그러면 직선 사이의 각도를 결정하는 공식의 형식은 다음과 같습니다.

선의 직각도 조건은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

벡터가 다음과 같은 경우에만 선이 평행하거나 일치합니다.

동일선상. 여기서 선이 일치하는 조건은 다음과 같은 형식을 갖습니다.:
,

교차점이 없는 조건은 다음과 같이 작성됩니다.
. 마지막 두 가지 조건을 직접 증명하십시오.

일반 방정식을 사용하여 직선의 동작을 연구해 보겠습니다.

직선의 일반방정식을 주어보자
. 만약에
이면 직선이 원점을 통과합니다.

계수 중 어느 것도 0이 아닌 경우를 고려하십시오.
. 방정식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

어디
. 매개변수의 의미를 알아봅시다.
. 직선과 좌표축의 교차점을 찾아 보겠습니다. ~에
우리는
, 그리고 언제
우리는
. 그건
- 좌표축에서 직선으로 잘린 세그먼트입니다. 따라서 방정식
세그먼트의 직선 방정식이라고합니다.

언제
우리는

. 언제
우리는
. 즉, 직선이 축과 평행하게 됩니다. .

이를 상기시켜 드리겠습니다. 직선의 기울기 축에 대한 이 직선의 경사각의 접선이라고 합니다.
. 직선이 축에서 끊어지도록 하세요. 선분 그리고 경사가 있어서 . 요점을 보자
이것에 거짓말

그 다음에
==. 그리고 직선의 방정식은 다음과 같은 형태로 쓰여질 것이다.

선이 점을 통과하도록 하세요.
그리고 경사가 있어서 . 요점을 보자
이 선상에 있습니다.

그 다음에 =
.

결과 방정식을 주어진 기울기로 주어진 점을 통과하는 직선의 방정식이라고 합니다.

두 줄을 주어보자
,
. 나타내자
- 그들 사이의 각도. 허락하다 ,해당 직선의 X축에 대한 경사각

그 다음에
=
,
.

그런 다음 평행선의 조건은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
, 그리고 직각도 조건

결론적으로 우리는 두 가지 문제를 고려한다.

일 . 삼각형 ABC의 꼭짓점의 좌표는 A(4;2), B(10;10), C(20;14)입니다.

찾기: a) 꼭지점 A에서 도출된 중앙값의 방정식과 길이;

b) 정점 A로부터 도출된 높이의 방정식과 길이;

c) 꼭지점 A에서 도출된 이등분선의 방정식;

중앙값 AM의 방정식을 정의해 보겠습니다.

점 M()은 BC 세그먼트의 중간입니다.

그 다음에 , . 따라서 점 M의 좌표는 M(15;17)입니다. 분석 기하학 언어의 중앙 방정식은 벡터 =(11;15)에 평행한 점 A(4;2)를 통과하는 직선의 방정식입니다. 그러면 중앙값의 방정식은 다음과 같습니다. 중앙 길이 AM= .

높이 방정식 AS는 벡터 =(10;4)에 수직인 점 A(4;2)를 통과하는 직선의 방정식입니다. 그러면 높이 방정식의 형식은 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0입니다.

높이의 길이는 점 A(4;2)에서 직선 BC까지의 거리입니다. 이 선은 벡터 =(10;4)에 평행한 점 B(10;10)을 통과합니다. 그 방정식은 다음과 같습니다 , 2x-5y+30=0. 따라서 점 A(4;2)에서 직선 BC까지의 거리 AS는 AS=와 같습니다. .

이등분선의 방정식을 결정하기 위해 이 선에 평행한 벡터를 찾습니다. 이를 위해 마름모 대각선의 속성을 사용합니다. 점 A에서 벡터와 동일한 방향으로 단위 벡터를 플롯하면 그 합과 동일한 벡터가 이등분선에 평행합니다. 그러면 =+가 됩니다.

={6;8}, , ={16,12}, .

그러면 = 주어진 벡터와 동일 선상에 있는 벡터 = (1;1)은 원하는 직선의 안내 벡터 역할을 할 수 있습니다. 그러면 원하는 선의 방정식은 x-y-2=0으로 표시됩니다.

일.강은 A(4;3) 지점과 B(20;11) 지점을 지나 직선으로 흐릅니다. 빨간모자는 C(4;8) 지점에 살고, 할머니는 D(13;20) 지점에 살고 있습니다. 매일 아침 빨간모자는 집에서 빈 양동이를 들고 강으로 가서 물을 길어 할머니에게 가져갑니다. 빨간 모자로 가는 최단 경로를 찾아보세요.

강을 기준으로 할머니와 대칭인 점 E를 찾아봅시다.

이를 위해 먼저 강이 흐르는 직선의 방정식을 구합니다. 이 방정식은 벡터에 평행한 점 A(4;3)을 통과하는 직선의 방정식으로 간주할 수 있습니다. 그러면 직선 AB의 방정식은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

다음으로 AB에 수직인 점 D를 지나는 선 DE의 방정식을 구합니다. 이는 벡터에 수직인 점 D를 통과하는 직선의 방정식으로 간주될 수 있습니다.
. 우리는

이제 점 S, 즉 점 D를 선 AB와 DE의 교차점으로 선 AB에 투영하는 점을 찾아보겠습니다. 우리는 방정식 시스템을 가지고 있습니다

따라서 점 S의 좌표는 S(18;10)입니다.

S는 세그먼트 DE의 중간점이므로 입니다.

비슷하게.

따라서 점 E의 좌표는 E(23;0)입니다.

이 선의 두 점의 좌표를 알고 선 CE의 방정식을 찾아 보겠습니다.

직선 AB와 CE의 교차점으로 점 M을 찾습니다.

우리는 방정식 시스템을 가지고 있습니다

따라서 점 M은 좌표를 갖습니다.
.

주제 2.공간에서의 표면 방정식의 개념. 구의 방정식. 주어진 점을 통과하는 평면의 방정식은 주어진 벡터에 수직입니다. 일반 평면 방정식 및 두 평면의 평행성에 대한 조건 연구. 점에서 평면까지의 거리. 선 방정식의 개념. 공간의 직선. 공간 내 직선의 정식 및 매개변수 방정식. 주어진 두 점을 지나는 선의 방정식. 직선과 평면의 평행성과 직각성의 조건.

먼저 공간에서의 표면방정식의 개념을 정의해보자.

공간에 보자
일부 표면이 제공됩니다. . 방정식
표면 방정식이라고 함 , 두 가지 조건이 충족되는 경우:

1. 어떤 지점에서든
좌표와 함께
, 표면에 누워 완료
즉, 그 좌표는 표면 방정식을 만족합니다.

2. 어떤 지점이든
, 그 좌표는 방정식을 만족합니다.
, 줄에 누워 있습니다.

평면 위의 선의 방정식

먼저 2차원 좌표계에서 선 방정식의 개념을 소개하겠습니다. 데카르트 좌표계에서 임의의 선 $L$을 구성합니다(그림 1).

그림 1. 좌표계의 임의선

정의 1

두 개의 변수 $x$와 $y$를 갖는 방정식은 이 방정식이 선 $L$에 속하는 임의의 점의 좌표에 의해 충족되고 선 $L에 속하지 않는 임의의 점에 의해 충족되지 않으면 선 $L$의 방정식이라고 합니다. .$

원의 방정식

데카르트 좌표계 $xOy$에서 원의 방정식을 유도해 보겠습니다. 원 $C$의 중심이 $(x_0,y_0)$ 좌표를 갖고 원의 반경이 $r$와 같다고 가정합니다. $(x,y)$ 좌표를 가진 점 $M$을 이 원의 임의의 점으로 둡니다(그림 2).

그림 2. 데카르트 좌표계의 원

원의 중심에서 $M$ 지점까지의 거리는 다음과 같이 계산됩니다.

그러나 $M$이 원 위에 있으므로 $CM=r$이 됩니다. 그러면 우리는 다음을 얻습니다.

방정식 (1)은 점 $(x_0,y_0)$에 중심이 있고 반지름이 $r$인 원의 방정식입니다.

특히 원의 중심이 원점과 일치하는 경우. 원의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

직선의 방정식.

데카르트 좌표계 $xOy$에서 직선 $l$의 방정식을 유도해 보겠습니다. $A$ 및 $B$ 점의 좌표는 각각 $\left$x_1,\ y_1\right$$ 및 $$x_2,\ y_2$$이고 $A$ 및 $B$ 점은 선택됩니다. 따라서 선분 $l$은 선분 $AB$의 수직이등분선입니다. 직선 $l$에 속하는 임의의 점 $M=$x,y$$을 선택해 보겠습니다(그림 3).