Чему равна сумма углов. Сумма углов треугольника

(опорный конспект)

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 4 Сумма углов треугольника.

Великий французский ученый XVII века Блез Паскаль в детстве любил возиться с геометрическими фигурами. Он был знаком с транспортиром и умел измерять углы. Юный исследователь заметил, что у всех треугольников сумма трех углов получается одна и та же - 180°. «Как же это доказать? - подумал Паскаль. - Ведь нельзя же проверить сумму углов у всех треугольников - их бесконечное множество». Тогда он отрезал ножницами два уголка треугольника и приложил их к третьему углу. Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие. Дальнейшая судьба мальчика была уже предопределена.

В этой теме вы познакомитесь с пятью признаками равенства прямоугольных треугольников и, пожалуй, с самым популярным свойством прямоугольного треугольника с углом 30°. Оно звучит так: катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Разделив равносторонний треугольник высотой, мы сразу получим доказательство этого свойства.

ТЕОРЕМА . Сумма углов треугольника равна 180°. Для доказательства проведем через вершину прямую, параллельную основанию. Темные углы равны и серые углы равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Темный угол, серый угол и угол при вершине образуют развернутый угол, их сумма 180°. Из теоремы следует, что углы равностороннего треугольника равны по 60° и что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с углом треугольника. Поэтому иногда углы самого треугольника называют внутренними углами.

ТЕОРЕМА о внешнем угле треугольника . Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Действительно, внешний угол и два внутренних, не смежных с ним, дополняют закрашенный угол до 180°. Из теоремы следует, что внешний угол больше любого внутреннего, не смежного с ним.

ТЕОРЕМА о соотношениях между сторонами и углами треугольника . В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Отсюда следует: 1) Катет меньше гипотенузы. 2) Перпендикуляр меньше наклонной.

Расстояние от точки до прямой . Так как перпендикуляр меньше любой наклонной, проведенной из той же точки, то его длина принимается за расстояние от точки до прямой.

Неравенство треугольника . Длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон, т. е. а < b + с , b < а + с , с < а + b . Следствие . Длина ломаной больше отрезка, соединяющего ее концы.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

По двум катетам . Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По катету и прилежащему острому углу . Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

По катету и противолежащему острому углу . Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

По гипотенузе и острому углу . Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство этих признаков сразу сводится к одному из признаков равенства треугольников.

По катету и гипотенузе . Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Приложим треугольники равными катетами. Получим равнобедренный треугольник. Его высота, проведенная из вершины, будет и медианой. Тогда у треугольников равны и вторые катеты, и треугольники равны по трем сторонам.

ТЕОРЕМА о свойстве катета, лежащего против угла 30° . Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Доказывается достроением треугольника до равностороннего.

ТЕОРЕМА о свойстве точек биссектрисы угла . Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла. Доказывается проведением двух перпендикуляров к сторонам угла и рассмотрением прямоугольных треугольников.

Вторая замечательная точка . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Расстояние между параллельными прямыми . ТЕОРЕМА . Все точки каждой из двух параллельных прямых находятся на равном расстоянии от другой прямой. Из теоремы следует определение расстояния между параллельными прямыми.

Определение . Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Подробные доказательства теорем

Это опорный конспект № 4 по геометрии в 7 классе . Выберите дальнейшие действия:

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

НА ТЕМУ:

«Всегда ли сумма углов треугольника равна 180˚?»

Выполнил:

Ученик 7б класса

МБОУ Инзенская СШ №2

г. Инза, Ульяновская область

Малышев Ян

Научный руководитель:

Большакова Людмила Юрьевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………..3 стр.

Основная часть……………………………………………4

поиск информации

опыты

вывод

Заключение………………………………………………..12

ВВЕДЕНИЕ

В этом году я начал изучать новый предмет-геометрию. Эта наука изучает свойства геометрических фигур. На одном из уроков мы изучали теорему о сумме углов треугольника. И с помощью доказательства сделали вывод: сумма углов треугольника равна 180˚.

Я задумался, а есть ли такие треугольники, у которых сумма углов не будет равна 180˚?

Тогда я поставил перед собой ЦЕЛЬ :

Узнать, когда сумма углов треугольника не равна 180˚?

Поставил следующие ЗАДАЧИ :

Познакомиться с историей возникновения геометрии;

Познакомиться с геометрией Евклида, Романа, Лобачевского;

Доказать опытным путем, что сумма углов треугольника может быть не равна 180˚.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Геометрия возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. При строительстве даже самых примитивных сооружений необходимо уметь рассчитывать, сколько материала уйдет на постройку, вычислять расстояния между точками в пространстве и углы между плоскостями. Развитие торговли и мореплавания требовало умений ориентироваться во времени и пространстве.

Для развития геометрии много сделали ученые Древней Греции. Первые доказательства геометрических фактов связывают с именем Фалеса Милетского.

Одной из самых известных школ была пифагорейская, названная в честь своего основателя, автора доказательств многих теорем, Пифагора.

Геометрию, которую изучают в школе, называют Евклидовой, по имени Евклида - древнегреческого ученого.

Евклид жил в Александрии. Он написал знаменитую книгу «Начала». Последовательность и строгость сделали это произведение источником геометрических знаний во многих странах мира в течении более двух тысячелетий. До недавнего времени почти все школьные учебники были во многом схожи с «Началами».

Но в 19 веке было показано, что аксиомы Евклида не являются универсальными и верны не во всяких обстоятельствах. Основные открытия геометрической системы, в которой аксиомы Евклида не верны, были сделаны Георгом Риманом и Николаем Лобачевским. О них говорят как о создателях неевклидовой геометрии.

И вот, опираясь на учения Евклида, Римана и Лобачевского, попробуем ответить на вопрос: всегда ли сумма углов треугольника равна 180˚?

ОПЫТЫ

Рассмотрим треугольник с точки зрения геометрии Евклида.

Для этого возьмём треугольник.

Закрасим его углы красным, зеленым и синим цветами.

Проведем прямую линию. Это развернутый угол, он равен 180 ˚.

Отрежем углы нашего треугольника и приложим их к развернутому углу. Мы видим, что сумма трех углов равна 180˚.

Одним из этапов развития геометрии стала эллиптическая геометрия Римана. Частным случаем этой эллиптической геометрии является геометрия на сфере. В геометрии Римана сумма углов треугольника больше 180˚.

Итак, это сфера.

Внутри этой сферы меридианами и экватором образуется треугольник. Возьмем этот треугольник, закрасим его углы.

Отрежем их и приложим к прямой. Мы видим, что сумма трех углов больше 180˚.

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 180˚.

Эта геометрия рассматривается на поверхности гиперболического параболоида (это вогнутая поверхность, напоминающая седло).

Примеры параболоидов можно встретить в архитектуре.

И даже чипсы «прингл»-пример параболоида.

Проверим сумму углов на модели гиперболического параболоида.

На поверхности образуется треугольник.

Возьмем этот треугольник, закрасим его углы, отрежем их и приложим к прямой. Теперь мы видим, что сумма трех углов меньше 180˚.

ВЫВОД

Таким образом, мы доказали, что сумма углов треугольника не всегда равна 180˚.

Она может быть и больше, и меньше.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение своей работы хочу сказать, что работать над этой темой было интересно. Я узнал много нового для себя и, в дальнейшем, буду с удовольствием изучать эту интересную геометрию.

ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ

ru.wikipedia.org

e-osnova.ru

vestishki.ru

yun.moluch.ru

Сумма углов треугольника - важная, но достаточно простая тема, которую проходят в 7 классе на геометрии. Тема состоит из теоремы, короткого доказательства и нескольких логичных следствий. Знание этой темы помогает в решении геометрических задач при последующем изучении предмета.

Теорема - чему равны сложенные между собой углы произвольного треугольника?

Теорема гласит - если взять любой треугольник вне зависимости от его вида, сумма всех углов неизменно составит 180 градусов. Доказывается это следующим образом:

• для примера берут треугольник АВС, через расположенную на вершине точку В проводят прямую линию и обозначают ее, как «а», прямая «а» при этом строго параллельна стороне АС;
• между прямой «а» и сторонами АВ и ВС обозначают углы, маркируя их цифрами 1 и 2;
• угол 1 признают равным углу А, а угол 2 - равным углу С, поскольку эти углы считаются накрест лежащими;
• таким образом, сумма между углами 1, 2 и 3 (который обозначается на месте угла В) признается равной развернутому углу с вершиной В - и составляет 180 градусов.

Если сумма углов, обозначенных цифрами, составляет 180 градусов, то и сумма углов А, В и С признается равной 180 градусам. Это правило верно для любого треугольника.

Что следует из геометрической теоремы

Принято выделять несколько следствий из приведенной теоремы.

• Если в задаче рассматривается треугольник с прямым углом, то один из его углов будет по умолчанию равен 90 градусам, а сумма острых углов также составит 90 градусов.
• Если речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, то его острые углы, в сумме составляющие 90 градусов, по отдельности будут равны 45 градусам.
• Равносторонний треугольник состоит из трех равных углов, соответственно, каждый из них будет равен 60 градусам, а в сумме они составят 180 градусов.
• Внешний угол любого треугольника будет равняться сумме между двумя внутренними углами, не прилегающими к нему.

Можно вывести следующее правило - в любом из треугольников есть как минимум два острых угла. В некоторых случаях треугольник состоит из трех острых углов, а если их только два, то третий угол будет тупым либо прямым.

Треугольник. Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольник.

Катеты и гипотенуза. Равнобедренный и равносторонний треугольник.

Сумма углов треугольника.

Внешний угол треугольника. Признаки равенства треугольников.

Замечательные линии и точки в треугольнике: высоты, медианы,

биссектрисы,срединны e перпендикуляры, ортоцентр,

центр тяжести, центр описанного круга, центр вписанного круга.

Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольномтреугольнике.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

Если все три угла острые (рис.20 ), то это остроугольный треугольник . Если один из углов прямой ( C, рис.21), то это прямоугольный треугольник ; стороны a , b , образующие прямой угол, называются катетами ; сторона c , противоположная прямому углу, называется гипотенузой . Если один из углов тупой ( B, рис.22), то это тупоугольный треугольник.


Треугольник ABC (рис.23) - равнобедренный , если две его стороны равны (a = c ); эти равные стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC (рис.24) – равносторонний , если все его стороны равны (a = b = c ). В общем случае (a ≠ b ≠ c ) имеем неравносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем

треугольнике равен 60 º.

4. Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний

угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,

не смежных с ним : BCD = A + B.

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше

их разности (a < b + c , a > b – c ;b < a + c , b > a – c ;c < a + b ,c > a – b ).

Признаки равенства треугольников.

Треугольники равны, если у них соответственно равны:

a ) две стороны и угол между ними;

b ) два угла и прилегающая к ним сторона;

c ) три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Д ва прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

1) равны их катеты;

2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;

3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;

4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Замечательные линии и точки в треугольнике.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника . Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке , называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O , рис.26) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника (точка O , рис.27) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Медиана – это отрезок , соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника (AD , BE , CF , рис.28) пересекаются в одной точке O , всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника (AD , BE , CF , рис.29) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам ; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС (KO , MO , NO , рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга (точки K , M , N – середины сторон треугольника ABC ).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами a , b и гипотенузой c .

Построим квадрат AKMB , используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF , сторона которого равна a + b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна (a + b ) 2 . С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB , то есть

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab ,

отсюда ,

c 2 + 2 ab = (a + b ) 2 ,

и окончательно имеем:

c 2 = a 2 + b 2 .

Соотношение сторон в произвольном треугольнике.

В общем случае (для произвольного треугольника) имеем:

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab · cos C,

где C – угол между сторонами a и b .